与えられた円に内接する正１７角形を作図しましょう。
コンパスと定規による作図というのは制限が多く、すべての正多角形を作図することはできません。そのことはガウスが数学的に証明しました。この証明は純粋に「代数」の問題であって、ガウスも三角関数を使ったというものの、その本質は「根の構造」ということに焦点を当てた、現在で言うところの「ガロア理論」に他ならなかったのです。参考文献としては高木貞治著「近世数学史談」（共立出版）を挙げておきます．この本によると，「１７９６年３月３０日の朝、十九歳の青年ガウスが目ざめて臥床から起き出でようとする刹那に正十七角形の作図法に思いついた。」とあります。我々数学者は「未解決問題が夢の中で解けた、しかし起きてみたら間違いがあった．」ということはしばしばですが，このように目がさめたとたんに正解にたどり着く，というガウスの力強さに感心します．
ここでは代数的な作図可能性の証明には触れません。高木貞治著「近世数学史談」を参照してください。
ガウスはチマーマン(Zimmermann)にこの作図可能性について知らせてあったそうですが，そのチマーマン経由で，当時の人たちが作図法を自分で編み出したとの事です．ここでおもしろいのは，三角関数を用いて（しかもその背後にはガロア理論という純粋代数の理論があって）証明したガウスの方法を見て，当時の人々は「不十分」だと思っていたことです．つまり、「作図できる」という命題の正当性は作図法を示してこそ認められると考えていたということです．おまけに，当時ガウスは１９歳，「若造がわかったような口を利いて」という印象を持った人も少なからずいたのではないでしょうか．なにしろ話が１８００年頃のことで、数学はまだ理論の集大成の学問ではなく、博物学的な要素をもった「数や形に関する知識の集大成｣であったころの話です．ガロアの論文が認められなかったのもこれより１０年位前のことでガロアやガウスの早熟さが伺えます．
さて、名前がわかっている考案者を紹介しましょう．砲兵大尉フォン・フゲニン(von Huguenin)という人が書いた初等幾何学書(1803)に正十七角形の作図法が記載されていたそうです．彼はガウスの証明を直接・間接かはわかりませんが聞いて理解するに及び，「別証明を考え出し」「作図法を創作した」のだそうです。ガウスはこの出版を非難したそうですが，高木先生も書いているとおり、当時としてはありがちな話だとしか言いようがありません．
もう一人名前はわかっていませんが作図を考案した人がいたのは確かです．ヘルムシュテット大学のプファッフ(Pfaff)からガウスに宛てた手紙で，彼の同僚の幾何の教授が「ガウスの証明を不十分と考え」自分で作図方を編み出した、ということを書いているそうです．プファップ自身も自分の作図法を編み出したとその手紙中で書いています．
さて、現在よく知られている作図法は次の節で述べますが，これは１８９３年にリッチモンドが考え出した方法といわれています．
（手順１）円を加える で，円を描きます．作図が細かくなることを想定して，できるだけ大きな円を描きます．中心A ，円上の点B を，できるだけ同じ高さにあるように描きます．（図 1）
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（手順２）直線を加える で直線AB を描きます．円ともう一度交わるところに，点を加える で点を加えます．名前はC になります．垂線を加える でA をとおりAB に垂直な直線を加えます．点を加えるにして垂直な直線と円が上部で交わるところに点を加えます．この名前はD になります．ここで，要素の設定を開き，両端を切り取る をクリックしておきましょう．（図 2）
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（手順３）中点 にして，AD の中点を描きます．名前はE となります．AE の中点を描きます．名前はF になります．直線を加えるでB とF とを結びます．（図 3）
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（手順４）角の２等分線 にして，角BFA の２等分線を描きます．そのためにはまず F とB の間をクリックして，続いてF とA の間をクリックします．（２等分される角度が灰色で表示されるのでそれを目安にしてください．）さて，点を加えるにして，AB との交わりを加えます．名前はG になります．
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| （手順５）角の２等分線にして，角AFG の２等分線を描きます．そのためには，F とG の間をクリックし，続いてF とA の間をクリックすればよいのです．点を加えるで，描かれた２等分線とAB との交点を加えます．これはH になります．
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（手順６）固定した角度の直線を加える にして，F をとおりFH と45 度の角度の直線を描きます．これはもちろんコンパスと定規による作図によって描くことができますが，ここでは簡略化して，角度指定により描いてみましょう．小さなウィンドーに-45 と書き込み，FH の間からドラッグを始めて，F でマウスボタンを離します．この新しく描いた直線とAC との交点をK とします．
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（手順７）中点にして，KB の中点を加えます．名前はL になります．そして，円を加えるにして，L を中心とし，K とB とを通る円を描きます．ここで，後のために，「点L を見えなくする」という作業をしておきます．まず，選択 にして，L をクリックします．点L だけがハイライトしていることを確認してください．次に，設定メニューから要素の設定を開き，表示・非表示のスライダーを一番左へ動かしてください．そして，選択をはずすボタン をクリックして，もう一度要素の設定を開き，表示・非表示のスライダーを一番右にしてください．この作業により，点L だけが見えなくなりました．そうして、垂直線と今書いた円との交点のうち上のほうのをM としておきます。（図 7）
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| （手順８）円を加えるにして，H と中心として，M を通る円を描きます．点を加えるにして，AB との交わりを右からN ,O とします．（図 8）
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| （手順９）垂線を加えるにして，N をとおるAB の垂線を描きます．次に，O を通るAB の垂線を描きます．大きな円の交わりを点として加え，それぞれP とQ とします．（図 9）
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（手順１０）さて，B ,P ,Q は正十七角形の頂点となっています．B から数えて，P は３番目，Q は５番目になっています．ですから，あとは残りの頂点を描くだけですが，作図途中の円や直線が錯綜していますので，それらを見えなくしましょう．まず選択にします．それからすべてを選択する をクリックします．すべての要素が白くハイライトします．この次が少し難しいです．[Shift]キーをおしながら，外側の円と点B , P , Q をクリックします．クリックすることによって，ハイライトが消えて選択からはずされます．もしそれ以外のものも選択からはずしてしまったら，[Shift]キーを押しながらもう一度クリックすれば再び選択されるようになります．うまくいったら，要素の設定を開いて，表示・非表示のスライダーを一番左にします．（図 10）
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| （手順１１）残りの頂点を作図しましょう．P とQ の間にはもう一つ頂点があるはずですが，ここでは「１個飛ばし」でコンパスで拾っていくのが簡単そうです．まず，後での楽しみのために，表示メニューから情報を開いておきます．この情報のウィンドーは，シンデレラのウィンドーにすぐ隠れてしまいますので，右側のほうへ移動しておくとよいでしょう．そして，円を加えるにして，Q を中心としてP を通る円を描きます．そうして大きな円との交点を追加します．名前はR になります．続いて，R を中心としてQ を通る円を描きます．（図 11）このようにして，次々と頂点をプロットしていくことができます．
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| 全部１７個やると，（図 12）のようになります． |  |
さて，ここで，先ほど出しておいた情報ウィンドーを見てみましょう．４行ほど何かかかれていると思います．
まず，「"B"は円"C8"上にある．」というメッセージが見えます．これは，順順に点をプロットしていって，ちょうど点B にあたるところも通るはずなのですが，それがちゃんと通っている，ということをシンデレラが自動証明機能で確認したことが記されているのです．２行目と３行目はP とQ の真下にある頂点のことです．P やQ を決める時には，直線と円との交点を加えたわけですが，直線は２ヶ所で円と交わっていますから，「もう一つの」交点もあったわけです．実はそのもう一つのほうも正十七角形の頂点の一つであって，点をプロットしていくうちに，その点（つまり，シンデレラから見ればすでに知っている点）を通りましたよ，ということを親切にも教えてくれているわけです．そうして４行目は２周して無事点P に戻ってきたことを意味しています．この４行は，正十七角形の作図が正しくなされたことをシンデレラ自身が「証明」したことに他ならないわけで，なかなか痛快な出来事だといえましょう．
